1. ¿Qué significa que una función sea continua?
Decir que una función es continua en un punto no es una opinión, ni una intuición gráfica. Es una afirmación matemática que exige tres condiciones simultáneas.
Una función f(x) es continua en x = a si:
- f(a) existe
- lim x→a f(x) existe
- lim x→a f(x) = f(a)
⚠️ Error típico del estudiante
Creer que basta con que el límite exista para que haya continuidad.
Creer que basta con que el límite exista para que haya continuidad.
2. El rol del límite en la continuidad
El límite describe el comportamiento de la función cerca de un punto, no necesariamente en el punto.
lim x→a f(x)
significa:
“¿A qué valor se acercan los valores de f(x) cuando x se aproxima a a, sin ser a?”
💡 El límite puede existir aunque f(a) no exista.
3. Tipos de discontinuidad (idea inicial)
- Discontinuidad removible: el límite existe, pero f(a) no coincide.
- Discontinuidad de salto: los límites laterales son distintos.
- Discontinuidad infinita: la función crece sin cota.
⚠️ No todas las discontinuidades se “arreglan”.
4. Ejercicio guiado: ¿hay continuidad?
🔍 Analiza las tres condiciones.
5. Idea clave para llevarse
El límite habla de x cerca de a.
La continuidad exige además saber qué ocurre en a.
💡 Pensar continuidad es conectar comportamiento local,
valor puntual y definición formal.