📐 Funciones Racionales

Comprender qué son, cómo se comportan y por qué presentan discontinuidades. Aquí trabajamos con el error como parte del aprendizaje.

1. ¿Qué es una función racional?

Una función racional es una función escrita como el cociente entre dos polinomios:

f(x) = P(x) / Q(x)

donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ 0.

⚠️ El denominador no puede valer cero. Allí la función no está definida.

2. Dominio y puntos problemáticos

El dominio de una función racional se obtiene preguntando:

f(x) = (x² − 1) / (x − 1)

El denominador se anula en x = 1, por lo tanto:

Dominio: ℝ − {1}

3. Discontinuidad removible

Muchas funciones racionales parecen "fallar" en un punto, pero en realidad el problema es solo la forma algebraica.

(x² − 1)/(x − 1) = (x − 1)(x + 1)/(x − 1)

Simplificando:

f(x) = x + 1    (para x ≠ 1)
✔️ El límite existe, pero la función no está definida en x = 1. Esto se llama discontinuidad removible.

4. Relación con límites y continuidad

Una función racional es continua en todo punto de su dominio. Las únicas discontinuidades posibles aparecen donde:

🧠 El límite analiza el comportamiento, no la existencia del valor en el punto.

📚 7 Ejemplos Resueltos Paso a Paso

A continuación encontrarás ejemplos detallados que cubren los casos más importantes de funciones racionales: discontinuidades removibles, asíntotas verticales, simplificación algebraica y análisis de límites.

Ejemplo 1

Discontinuidad removible básica

Ejemplo 2

Asíntota vertical simple

Ejemplo 3

Factorización cuadrática completa

Ejemplo 4

Múltiples puntos problemáticos

Ejemplo 5

Factores repetidos

Ejemplo 6

Diferencia de cubos

Ejemplo 7

Función racional compleja

📝 Ejemplo 1: Discontinuidad Removible Básica

f(x) = (x² - 4) / (x - 2)
Paso 1: Identificar el problema

Encontrar dónde el denominador se hace cero:

x - 2 = 0 → x = 2

La función NO está definida en x = 2

Paso 2: Factorizar el numerador

Reconocemos una diferencia de cuadrados:

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Paso 3: Simplificar
f(x) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (para x ≠ 2)

El factor (x - 2) se cancela

Paso 4: Calcular el límite
lim x→2 f(x) = lim x→2 (x + 2) = 4
✅ Resultado:
• Dominio: ℝ - {2}
• Discontinuidad removible en x = 2
• Límite cuando x→2: 4
• Función simplificada: f(x) = x + 2 para x ≠ 2
💡 Observación: Podríamos "reparar" la discontinuidad definiendo f(2) = 4, haciendo la función continua en todo ℝ.

📝 Ejemplo 2: Asíntota Vertical Simple

f(x) = 1 / (x - 3)
Paso 1: Identificar el problema

El denominador se hace cero cuando:

x - 3 = 0 → x = 3

La función NO está definida en x = 3

Paso 2: Analizar el numerador

El numerador es constante (1) y no tiene factores comunes con el denominador.

No hay factorización posible para cancelar (x - 3)
Paso 3: Calcular límites laterales

Analizamos qué pasa cuando x se acerca a 3:

Por la izquierda (x → 3⁻):
x - 3 → 0⁻ (negativo pequeño)
1 / (número negativo pequeño) → -∞
Por la derecha (x → 3⁺):
x - 3 → 0⁺ (positivo pequeño)
1 / (número positivo pequeño) → +∞
Paso 4: Determinar el tipo de discontinuidad
lim x→3⁻ f(x) = -∞
lim x→3⁺ f(x) = +∞
El límite no existe
✅ Resultado:
• Dominio: ℝ - {3}
• Asíntota vertical en x = 3
• Límites laterales: -∞ (izquierda), +∞ (derecha)
• Discontinuidad infinita (no removible)
💡 Característica: Cuando los límites laterales son infinitos (con signos iguales o diferentes), tenemos una asíntota vertical.

📝 Ejemplo 3: Factorización Cuadrática Completa

f(x) = (x² - 5x + 6) / (x - 2)
Paso 1: Identificar el problema inicial

Denominador se anula en:

x - 2 = 0 → x = 2
Paso 2: Factorizar el numerador

Factorizamos el trinomio cuadrático:

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Buscamos dos números que multipliquen a 6 y sumen -5: -2 y -3

Paso 3: Simplificar
f(x) = (x - 2)(x - 3) / (x - 2) = x - 3 (para x ≠ 2)

El factor (x - 2) se cancela

Paso 4: Calcular el límite
lim x→2 f(x) = lim x→2 (x - 3) = -1
✅ Resultado:
• Dominio: ℝ - {2}
• Discontinuidad removible en x = 2
• Límite cuando x→2: -1
• Función simplificada: f(x) = x - 3 para x ≠ 2
💡 Aprendizaje: Muchas funciones racionales con trinomios cuadráticos en el numerador tienen discontinuidades removibles si el denominador es uno de los factores.

📝 Ejemplo 4: Múltiples Puntos Problemáticos

f(x) = (x² - 1) / (x² - 4)
Paso 1: Encontrar todos los puntos problemáticos

El denominador se hace cero cuando:

x² - 4 = 0
x² = 4
x = 2 o x = -2

La función NO está definida en x = 2 ni en x = -2

Paso 2: Factorizar numerador y denominador

Aplicamos diferencia de cuadrados en ambos:

x² - 1 = (x - 1)(x + 1)
x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Paso 3: Analizar simplificación
f(x) = (x - 1)(x + 1) / (x - 2)(x + 2)

No hay factores comunes entre numerador y denominador

Ningún factor se puede cancelar

Paso 4: Analizar cada punto por separado
En x = 2:
Denominador: (2-2)(2+2) = 0×4 = 0
Numerador: (2-1)(2+1) = 1×3 = 3
→ 3/0 → Asíntota vertical
En x = -2:
Denominador: (-2-2)(-2+2) = (-4)×0 = 0
Numerador: (-2-1)(-2+1) = (-3)×(-1) = 3
→ 3/0 → Asíntota vertical
✅ Resultado:
• Dominio: ℝ - {-2, 2}
• Asíntotas verticales en x = -2 y x = 2
• No hay discontinuidades removibles
• La función no se puede simplificar más
💡 Importante: Una función puede tener múltiples asíntotas verticales. Cada raíz del denominador (que no se cancele) produce una asíntota.

📝 Ejemplo 5: Factores Repetidos

f(x) = (x² - 2x + 1) / (x - 1)
Paso 1: Identificar el problema

Denominador se anula en:

x - 1 = 0 → x = 1
Paso 2: Factorizar el numerador

Reconocemos un trinomio cuadrado perfecto:

x² - 2x + 1 = (x - 1)² = (x - 1)(x - 1)
Paso 3: Simplificar
f(x) = (x - 1)(x - 1) / (x - 1) = x - 1 (para x ≠ 1)

Se cancela un factor (x - 1), queda otro (x - 1)

Paso 4: Calcular el límite
lim x→1 f(x) = lim x→1 (x - 1) = 0
Paso 5: Analizar comportamiento

Aunque el límite es 0, la función no está definida en x = 1:

f(1) = (1 - 1)² / (1 - 1) = 0/0 (indefinido)
✅ Resultado:
• Dominio: ℝ - {1}
• Discontinuidad removible en x = 1
• Límite cuando x→1: 0
• Función simplificada: f(x) = x - 1 para x ≠ 1
• "Hueco" en el punto (1, 0)
💡 Curiosidad: Este es un caso especial donde el límite es 0, pero aún así hay discontinuidad. El hueco está exactamente en el eje x.

📝 Ejemplo 6: Diferencia de Cubos

f(x) = (x³ - 8) / (x - 2)
Paso 1: Identificar el problema

Denominador se anula en:

x - 2 = 0 → x = 2
Paso 2: Factorizar usando diferencia de cubos

Aplicamos la fórmula: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

x³ - 8 = x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4)
Paso 3: Simplificar
f(x) = (x - 2)(x² + 2x + 4) / (x - 2) = x² + 2x + 4 (para x ≠ 2)

El factor (x - 2) se cancela

Paso 4: Calcular el límite

Usamos la función simplificada:

lim x→2 f(x) = lim x→2 (x² + 2x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12
Paso 5: Evaluar la función simplificada

La función simplificada es un polinomio:

x² + 2x + 4 = (x + 1)² + 3

Es una parábola con vértice en (-1, 3)

✅ Resultado:
• Dominio: ℝ - {2}
• Discontinuidad removible en x = 2
• Límite cuando x→2: 12
• Función simplificada: f(x) = x² + 2x + 4 para x ≠ 2
• Hueco en el punto (2, 12)
💡 Fórmula útil: Diferencia de cubos: a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
Suma de cubos: a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

📝 Ejemplo 7: Función Racional Compleja

f(x) = (2x² - 8) / (x² + x - 6)
Paso 1: Encontrar puntos problemáticos

Igualamos denominador a cero:

x² + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
x = -3 o x = 2
Paso 2: Factorizar numerador

Primero factor común, luego diferencia de cuadrados:

2x² - 8 = 2(x² - 4) = 2(x - 2)(x + 2)
Paso 3: Escribir función factorizada
f(x) = 2(x - 2)(x + 2) / (x + 3)(x - 2)
Paso 4: Analizar simplificaciones

Observamos que (x - 2) aparece en numerador y denominador:

f(x) = 2(x + 2) / (x + 3) (para x ≠ 2)

El factor (x - 2) se cancela, pero (x + 3) NO se cancela

Paso 5: Analizar cada punto por separado
En x = 2:
• Factor (x-2) se cancela
• Discontinuidad REMOVIBLE
• Límite: 2(2+2)/(2+3) = 8/5
En x = -3:
• Factor (x+3) NO se cancela
• Asíntota VERTICAL
• Límites: ±∞
✅ Resultado:
• Dominio: ℝ - {-3, 2}
• En x = 2: Discontinuidad removible (límite = 8/5)
• En x = -3: Asíntota vertical (límite = ±∞)
• Función simplificada: f(x) = 2(x + 2)/(x + 3) para x ≠ 2
💡 Importante: Una misma función puede tener AMBOS tipos de discontinuidad en diferentes puntos (removible en unos, asíntota en otros).

📊 Tabla Resumen de los 7 Ejemplos

Ejemplo Función Punto(s) Tipo Límite
1 (x²-4)/(x-2) x = 2 ✓ Removible 4
2 1/(x-3) x = 3 ✗ Infinita ±∞
3 (x²-5x+6)/(x-2) x = 2 ✓ Removible -1
4 (x²-1)/(x²-4) x = ±2 ✗ Infinita (×2) ±∞
5 (x²-2x+1)/(x-1) x = 1 ✓ Removible 0
6 (x³-8)/(x-2) x = 2 ✓ Removible 12
7 (2x²-8)/(x²+x-6) x=2, x=-3 Mixto 8/5, ±∞
Conclusión clave: Para determinar el tipo de discontinuidad:
  1. Si el factor problemático se cancela → Removible
  2. Si NO se cancela → Infinita (asíntota)

🎯 Estrategia General para Resolver

Metodología paso a paso aplicable a cualquier función racional

Paso 1: Encontrar el dominio

Igualar el denominador a cero y resolver: Q(x) = 0

Los valores obtenidos se excluyen del dominio

Paso 2: Factorizar completamente

Factorizar tanto el numerador como el denominador usando:

  • Factor común
  • Diferencia de cuadrados: a² - b² = (a-b)(a+b)
  • Trinomio: x² + bx + c = (x + m)(x + n)
  • Diferencia de cubos: a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
Paso 3: Simplificar factores comunes

Cancelar todos los factores que aparezcan en numerador y denominador

Importante: Recordar que estos puntos siguen excluidos del dominio

Paso 4: Analizar cada punto problemático
Si se canceló:
→ Discontinuidad removible
→ Calcular límite con función simplificada
Si NO se canceló:
→ Asíntota vertical
→ Límite = ±∞
Paso 5: Verificar el resultado

Comprobar que:

  • El dominio está correctamente determinado
  • Los límites están bien calculados
  • La clasificación de discontinuidades es correcta

⚠️ Errores Comunes y Cómo Evitarlos

❌ Error 1: Cancelar antes de factorizar

Incorrecto:
(x² - 4)/(x - 2) = x² - 4 - 2 = x² - 6 ← ¡MAL!
Correcto:
Primero factorizar: (x-2)(x+2)/(x-2), luego cancelar: x+2

❌ Error 2: Pensar que 0/0 = 0

Incorrecto:
Si numerador y denominador son cero, entonces f(x) = 0 ← ¡MAL!
Correcto:
0/0 es una forma indeterminada. Hay que factorizar y simplificar

❌ Error 3: Olvidar excluir valores del dominio

Incorrecto:
(x-1)/(x-1) = 1, entonces el dominio es ℝ ← ¡MAL!
Correcto:
Dominio: ℝ - {1}. Aunque se simplifique a 1, x=1 sigue excluido

❌ Error 4: Confundir límite con valor de la función

Incorrecto:
Si lim x→2 f(x) = 5, entonces f(2) = 5 ← ¡MAL!
Correcto:
El límite puede existir aunque f(2) no esté definido (discontinuidad removible)